\input{../preambules/preDM.tex}
\renewcommand{\P}{\mathscr{P}}
\begin{document}

\chead{Correction Devoir maison n°2}
\lfoot{}
\cfoot{Suites et récurrences.}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Devoir maison n°2}

\end{center}
\vspace{30pt}

\subsection*{Exercice 1 - Démonstration par récurrence}
\begin{enumerate}
\item On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \{4^n \geq 1 + 3n \}$. 

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $4^0 = 1 \geq 1 + 3 \times 0$ donc l'initialisation est vérifié.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors
\begin{align*}
& 4^n \geq 1 + 3n \\
\Longrightarrow \quad & 4^{n+1} \geq 4(1+ 3n) \\
\Longrightarrow \quad & 4^{n+1} \geq 4 + 12n \geq 4 + 3n \\
\Longrightarrow \quad & 4^{n+1} \geq 1 + 3(n+1) 
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $4^n \geq 1 + 3n$}.
\end{itemize}
\item On considère la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{2} \ln(u_n)$. On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \{ 1 \leq u_n \leq e \}$. 

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $u_0 = 1$, $1 \leq u_0 \leq e$ et donc l'initialisation est vérifié.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors
\begin{align*}
& 1 \leq u_n \leq e \\
\Longrightarrow \quad & 0 \leq \ln (u_n) \leq 1 \\
\Longrightarrow \quad & 0 \geq - \dfrac{1}{2} \ln(u_n) \geq - \dfrac{1}{2}  \\
\Longrightarrow \quad & 2 \geq 2 - \dfrac{1}{2} \ln(u_n) \geq  \dfrac{3}{2} \\
\Longrightarrow \quad & e \geq u_{n+1} \geq  1  
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $1 \leq u_n \leq e$}.
\end{itemize} 

\item La suite de Fibonacci $(u_n)$ est défini par $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ et $u_0 = u_1 = 1$. On démontre par récurrence forte que $\forall n \in \N, u_n \in \N$. 
	\begin{itemize}
	\item On cherche à montrer les propositions $\P_n : \{ u_n \in \N \}$.
	\item \textbf{Initialisation :} Les propriétés $\mathscr{P}_0$ et $\mathscr{P}_1$ sont vraies puisque $u_0= 1 \in \N$ et $u_1 = 1 \in \N$.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ et $\P_{n+1}$ sont vraies pour un certain rang $n$. On veut montrer que $\P_{n+2}$ est vraie.
 On a donc $u_n \in \N$ et $u_{n+1} \in \N$. Or, comme 
 $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ on a $u_{n+2} \in \N$. La somme de deux entiers est un entier. La proposition $\P_{n+2}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n \in \N$.}
	\end{itemize}
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2 - Fonctions et suites}

\subsubsection*{Partie 1}

On considère la fonction $f(x)=\ln\pare{e^x+e^{-x}}$.

\begin{enumerate}
\item
On résout $e^x + e^{-x} >0$. Or pour tout $x \in \R$, $e^x >0$ et $e^{-x} > 0$. \begin{center}
\fbox{Donc le domaine de définition de $f$ est $\R$.}
\end{center} 
\item
Le domaine de définition de $f$ est symétrique. Pour tout $x$ réel,
\begin{align*}
f(-x) & = \ln(e^{-x} + e^{-(-x)}) \\
 & = \ln(e^x + e^{-x}) \\
 & = f(x)
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{La fonction $f$ est paire. }
\end{center}
\item
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables sur $\R$. Pour tout $x$ réel
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}
\end{align*}
Or $e^x + e^{-x} > 0$,on s'intéresse alors au numérateur. On résout 
\begin{align*}
e^x - e^{-x} \geq 0 & \Longleftrightarrow \quad e^x \geq e^{-x} \\
& \Longleftrightarrow \quad  e^{2x} \geq 1 \\
& \Longleftrightarrow \quad 2x \geq 0 \\
& \Longleftrightarrow \quad \boxed{x \geq 0}
\end{align*}
On calcule les limites 
$$
\li_{x \to + \infty} e^x = +\infty, \qquad \li_{x \to + \infty} e^{-x} = 0 
$$
Donc
\begin{center}
\fbox{ $\li_{x \to +\infty} f(x) = + \infty$. }
\end{center}
De même  
$$
\li_{x \to - \infty} e^x = 0, \qquad \li_{x \to - \infty} e^{-x} = + \infty 
$$
Donc
\begin{center}
\fbox{ $\li_{x \to -\infty} f(x) = + \infty$. }
\end{center}
Enfin, $f(0) = \ln(e^0 + e^{-0}) = \ln(2)$. On en déduit le tableau de variation suivant 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/1, Signe de $f'(x)$/1, Variations de $f$/2}{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
\tkzTabVar{+/$+\infty$,-/$\ln(2)$, +/$+ \infty$} 
\end{tikzpicture}
\end{center} 
\item
On calcule pour $x$ réel,
\begin{align*}
f(x) - x & = \ln(e^x + e^{-x}) - x  \\
& = \ln(e^x (1 + e^{-2x})) - x \\
& = \ln(e^x) + \ln (1+ e^{-2x}) - x \\
& = x + \ln(1+ e^{-2x}) - x \\
& \boxed{= \ln(1+ e^{-2x})}
\end{align*}
\item
On a 
$$\li_{x \to + \infty} e^{-2x} = 0, \quad \li_{x \to + \infty} 1 + e^{-2x} = 1$$
Finalement 
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \to + \infty} f(x) - x = \li_{x \to +\infty} \ln(1+ e^{-2x})= 0$.}
\end{center}
On a également
$$\li_{x \to - \infty} e^{-2x} = + \infty, \quad \li_{x \to - \infty} 1 + e^{-2x} = +\infty$$
Finalement 
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \to - \infty} f(x) - x = \li_{x \to -\infty} \ln(1+ e^{-2x})= +\infty$.}
\end{center}
\item
On a $f(x) > x  \Longleftrightarrow f(x) - x > 0$. On pose alors la fonction $g(x) = f(x) - x$. Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables. Pour tout $x$ réel, 
\begin{align*}
g'(x) & = f'(x) - 1 \\
& = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} - 1 \\
& = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} - \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \\
& = \dfrac{-2e^{-x}}{e^x + e^{-x}} < 0
\end{align*}
La fonction $g$ est donc strictement décroissante. les limites ayant été étudiés précédemment, on a le tableau de variation 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/1, Signe de $g'(x)$/1, Variations de $g$/2}{$-\infty$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,}
\tkzTabVar{+/$+\infty$, -/$0$} 
\end{tikzpicture}
\end{center} 
La fonction $g$ est ainsi toujours positive. Par conséquent, 
\begin{center}
\fbox{$\forall x \in \R, f(x) > x$. }
\end{center}
\item
On résout 
\begin{align*}
f(x) < x + 1 & \Longleftrightarrow \ln(e^x + e^{-x}) < x + 1 \\
& \Longleftrightarrow e^x + e^{-x} < e^{x+1} \\
& \Longleftrightarrow e^x - e \times e^x + e^{-x} < 0 \\
& \Longleftrightarrow (1 - e)e^x + e^{-x} < 0 \\
& \Longleftrightarrow (1 - e) e^{2x} + 1 < 0 \\
& \Longleftrightarrow -(e-1)e^{2x} < - 1 \\
& \Longleftrightarrow e^{2x} > \dfrac{1}{e-1} \\
& \Longleftrightarrow 2x > \ln \left( \dfrac{1}{e-1} \right) \\
& \Longleftrightarrow x > \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{1}{e-1} \right)
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est donc $\mathcal{S} = \left]\dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{1}{e-1} \right) ; + \infty \right[$.}
\end{center}
\item
Tracer sur un même graphique les courbes représentatives de $f$, $y=x$ et $y=x+1$.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.85]{DM2_1.png}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie 2}

\'Etude de la suite définie par 
$\begin{cases}
u_0=0\\
u_{n+1}=f(u_n) = \ln(e^{u_n} + e^{-u_n})
\end{cases}$
\begin{enumerate}
\item
On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \{u_n$ est bien définie et $u_n \geq 0 \}$. 

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} $u_0 = 0$ donc $u_0$ est bien défini et $u_0 \geq 0$ donc l'initialisation est vérifié.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors $u_{n+1} = f(u_n)$ existe car la fonction $f$ est définie sur $\R$. De plus
\begin{align*}
& u_n \geq 0 \\
\Longrightarrow \quad &f (u_n) \geq f(0) \quad \text{$f$ croissante sur $[0;+\infty[$}
\end{align*}
Or $f(u_n)=  u_{n+1}$ et $f(0) = \ln(2) \geq 0$ donc $u_{n+1} \geq 0$. 
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n$ existe et $u_n \geq 0$}.
\end{itemize}
\item
D'après la partie A, pour tout $x$ réel, $f(x) \geq x$. En prenant $x = u_n$, on a 
$$
\forall n \in \N, u_{n+1} \geq u_n.
$$
\begin{center}
\fbox{La suite $(u_n)_{n \in \N}$ est croissante. }
\end{center}
\item
D'après la partie A,pour tout $x$ positif, $f(x) < x +1$.  En prenant $x = u_n$, on a 
\begin{center}
\fbox{$
\forall n \in \N, u_{n+1} < u_n + 1.
$}
\end{center}
\item
On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \{u_n<n+1 \}$. 

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} $u_0 = 0$ donc $u_0 < 1$ donc l'initialisation est vérifié.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors
\begin{align*}
& u_n < n+1 \\
\Longrightarrow \quad &u_{n+1} < u_n + 1 < n+1 + 1 \\
\Longrightarrow \quad &u_{n+1} <  n+1 + 1
\end{align*} 
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n < n+1$}.
\end{itemize}
\item
On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \{u_n \leq \ln(n+1) \}$. 

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} $u_0 = 0$ et $\ln(0+1) = 0$ donc l'initialisation est vérifié.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors
\begin{align*}
& u_n \leq \ln(n+1) \\
\Longrightarrow \quad & e^{u_n} \leq n+1 \\
\Longrightarrow \quad & e^{u_n} + e^{-u_n} \leq n+1 +1  \quad \text{car} e^{-u_n} \leq 1\\
\Longrightarrow \quad & \ln(e^{u_n} + e^{-u_n}) \leq \ln (n+2) \\
 \Longrightarrow \quad & u_{n+1} \leq \ln (n+2)
\end{align*} 
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n < n+1$}.
\end{itemize}

\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3 - Scilab}
Les 3 questions sont indépendantes et par ordre de difficulté croissante. 
\begin{enumerate}
\item On considère le programme 
\begin{verbatim}
a = input('Entrez un réel')
b = 4*a^2
a = b - 4*a
a = a +1
disp(a) 
\end{verbatim}
\begin{enumerate}
\item Le programme ci-dessus demande à l'utilisateur d'entrer un réel $a$ et calcule $4a^2 - 4 a  + 1$. 
\item Si l'utilisateur rentre la valeur $2$, \fbox{le programme affiche $9$}. 
\item On résout $4a^2 - 4a +1 = 4 \Longleftrightarrow (2a-1)^2 = 4 \Longleftrightarrow (2a - 1)^2 - 2^2 = 0  \Longleftrightarrow (2a - 3)(2a+1) = 0 $. L'ordinateur renvoie la valeur $4$ pour les valeurs de \fbox{ $a= 3/2$ ou $a = -1/2$.} 
\end{enumerate}
\item Au 18 Aout 2020, le taux de change entre l'euro et les dollars américains, les livres sterling ou les roupies indiennes sont les suivants
\begin{itemize}
\item 1 EUR = 1,1960 USD
\item 1 EUR = 0,9042 GBP
\item 1 EUR = 89,2231 INR
\end{itemize}
Recopiez et complétez le programme suivant afin que lorsqu'un utilisateur entre une somme en euro et la monnaie dans laquelle il veut le change, il obtienne l'argent changé. 
\begin{verbatim}
eur = input("Entrez la somme en euros")
change = input ("Entrez 1 si vous souhaitez obtenir le change en dollar. Entrez 2 
si vous souhaitez obtenir le change en livres. Enfin, entrez 3 si vous souhaitez 
obtenir le change en roupies.")

USD = ... 1.1960*eur ...
GBP = ... 0.9042*eur ...
INR = ... 89.2231*eur ...

if change == .. 1 .. then
    print("Avec " + str(..eur..) + " euros, vous obtenez " + str(USD) + " dollars") 
elseif change == .. 2 .. then
    print("Avec " + str(.. eur ..) + " euros, vous obtenez " + str(GBP) + " livres") 
else
    print("Avec " + str(.. eur ..) + " euros, vous obtenez " + str(INR) + " roupies") 
\end{verbatim}
\end{enumerate}

\end{document}